Matemàticas ll: febrero 2014

Teorema de Tales

Primer teorema

Como una definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes, si tienen los ángulos correspondientes, iguales y sus lados son proporcionales entre si:
Si un triangulo se traza en una linea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triangulo dado

Segundo teorema

El segundo teorema de tales es un teorema de geometría particularmente enfocado en un triángulo rectángulo, las circunferencias.

El teorema de pitàgoras establece que en todo triangulo rectángulo , el cuadrado de la hipotenusa(el lado mayor longitud del triángulo rectángulo ) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos ( los dos lados menores del triángulo, los que conforman el angulo recto

En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Si un triangulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b y la medida de la hipotenusa es C, se establece C²=a²⁺b^{2 1}

De la ecuación (1) se deduce facilmete 3 de aplicación practica

Sistema Sexagesimal

Es un sistema de numeración posicional que emplea como base aritmética el número 60. tuvo su origen el la antigua babilonia. También fue empleado por los árabes durante el califato Omexa el sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) ángulos( grados minutos y segundos). en dicho sistema, 60 unidades de un orden forma una unidad.

1 hora---->60 minutos---->60 segundos
1ª------>60`-------->60``

Suma se coloca las horas debajo de las horas con los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos debajo de los minutos y los minutos y los segundos debajo de los segundos se suman.

Si los segundos suman mas de 60, se dividen dicho número 60, el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.
se hacen los mismos para minutos

Congruencia de Triángulos

Al mirar los dos pares de triángulos se puede apreciar que en ambos los triángulos tienen entre si la misma forma y tamaño, cuando se cumple estas condiciones se dice que los triángulos son congruente.

Criterios de Congruencia

Los criterios de congruencia corresponden a los postulados y teoremas que enuncian cuales son las condiciones mínimas que deben reunir dos o mas triángulos para que sean congruentes:

Estas son:

1.-Congruencia de sus lados

2.-congruencia de sus ángulos

para que los triángulos sean congruentes, es suficiente que soló algunos lados y/0 ángulos sean iguales.

Los postulados o criterios básicos de congruencia de triángulos son:

Postulado LAL: Significa lado-ángulo-lado, dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.
Postulado ALA: Significa ángulo-lado-ángulo, dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ello respectivamente iguales.
Postulado LLA: significa lado-lado-ángulo, dos triángulos son congruentes si tiene respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos
Postulado LLL: Significa lado-lado-lado, dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

CRITERIO DE SEMEJANZA

Primer Criterio de semejanza:dos angulos iguales , dos triangulos son semejantes si tienen dos àngulos

Segundo criterio de Semejanza: los lados proporcionales, dos triàngulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

Tercer criterio de semejanza: dos lados proporcionales y el àngulo comprendido entre ellos es igual, dos triàngulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el àngulo comprendido entre ellos igual.

Medición de Ángulos

Si la rotación del lado terminal es en sentido contrario al de las agujas del reloj, la medida del angulo sera positiva, en caso contrario la medida sera negativa.

Generalmente se usan dos sistemas de medición

El sistema sexagesimal , cuya unidad es el Grado : Un grado sexagesimal es una medida del angulo, con vértice en el centro de un circulo de amplitud igual a la 360 parte del mismo
Un radial es la medida del angulo con vértice en el centro de un circulo de radio r, cuyos lados determinados sobre la circunferencia, un arco AB de longitud igual al radio.

Angulo medida en el sistema sexagesimal medida en el sistema radian
nulo 0 grados 0 radianes
recto 90 grados pi/2 radienes
llano 180 grados pi.radianes
un giro 360 grados 2pi radianes
a aº=360a.r/2pi ar=2pi aº/360

La Recta de Euler

Propiedades

en un triàngulo cualquiera trazamos

Las mediatrices: rectas perpendiculares a los lados que pasan por el punto medio de ellos.
las Alturas: rectas perpendiculares a los lados que pasan por el vertice opuesto
Las medianas: rectas que se unen al punto de un lado con el vertice Opuesto.

Las alturas se cortan en un `punto, al que llamamos Ortocentro
las mediatrices se cortan en un punto, que llamamos circuncentro.
Las medianas se cortan en un `punto, al que llamamos Baricentro.

El ortocentro, el circuncentro y el Baricentro estan alineados, la recta que los contiene se llama "RECTA DE EULER"

Triàngulos

Un triangulo, en geometría es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos. los puntos de intersección de las rectas son vértices y los segmentos de la recta determinados, son los lados de los triángulos. dos son continuos forman unos de los ángulos interiores del triangulo.

Por lo tanto, un triangulo tiene tres ángulos interiores, 3 lados exteriores, 3 lados y 3 vértices.

Si esta contenido en una superficie plana se denomina triangulo, un nombre menos común para este tipo de polígonos.

Si esta contenido en una superficie esférica se denomina triangulo esférico representando, en cartografía sobre la superficie terrestre, se llama triangulo geodésico

Clasificación de los triángulos:

Se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de los ángulos

triángulo equilátero

Tres lados iguales.

Triángulo isósceles

Dos lados iguales.

Triángulo escaleno

Tres lados desiguales

Clases de triángulos según sus ángulos

Triángulo acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo rectángulo

Un ángulo recto
El lado mayor es la hipotenusa.
Los lados menores son los catetos.

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso.

Tipos de ángulos

Tipos de ángulos
Un Angulo es una superficie por dos líneas que tienen el mismo punto de origen. Existen distintas maneras de clasificarlos, algunas de ellas son:

A) Tipos de ángulos según su medida: